Bài 5: Cho a là số gồm 2n chữ số 1, b là số gồm n+1 chữ số 1, c là số gồm n chữ số 6. Chứng minh rằng a+b+c+8 là số chính phương

                                                          Giải:

Đặt x=111....1(n chữ số 1)

Ta có:

A=111.....11(2n chữ số 1)

  =x.10^n +x

  =x(10^n-1)+x+x

  =x.99...9(n chữ số 9)+2x

  =x.9.x+2x=x^2.9+2x (1)

B=111..11(n+1 chữ số 1)

  =x.10+1 (2)

C=66...666(n chữ số 6)

  =x.6 (3)

Cộng (1),(2),(3).Ta có:

A+B+C=x^2.9+2x+10x+1+6x

         =(3x)^2+18x+ 1

=>A+B+C+8=(3x)^2+18x+1+8

                 =(3x)^2+18x+9

                 =(3x+3)^2

=> Điều phải chứng minh.