TRÍCH TỪ BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THCS THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG
MÔN : TOÁN LỚP 8
Thời gian: 150 phút
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề 1
Bài 1: ( 2.5 điểm)
Phân tích thành nhân tử: ab(a – b) – ac(a + c) + bc( 2a + c – b) .
Tính giá trị của phân thức : A =
, biết 2x2 + 2y2 = 5xy và y > x > 0.
Bài 2: ( 3 điểm)

Giải và biện luận phương trình: x – ax2 -
với x là ẩn số, a và b là tham số.
Cho tích xyzt.
Nếu thêm y vào x thì tích tăng thêm a.
Nếu thêm z vào y thì tích tăng thêm b.
Nếu thêm t vào z thì tích tăng thêm c.
Nếu thêm x vào t thì tích tăng thêm d.
Chứng minh rằng: abcd = x4y4x4t4.
Bài 3: ( 1.5 điểm)
Tìm tất cả các số tự nhiên x ( x ≠ 3) ; sao cho x3 – 3 chia hết cho x – 3
Bài 4: ( 3 điểm)
Cho tam giác đều ABC, G là trọng tâm, đường cao AH. M là một điểm bất kì thuộc cạnh BC và I là trung điểm của AM. Hạ MD và ME lần lượt vuông góc với AB và AC.
Tứ giác DIEH là hình gì? Chứng minh.
Chứng minh rằng IH, DE, MG đồng quy.
Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho BM = CN. Xác định vị trí của M và N để độ dài đoạn thẳng MN là ngắn nhất.







ĐÁP ÁN
Bài 1: (2.5 điểm)


Nhận xét rằng: 2a + c – b = (a + c) + (a – b)
0.25đ

Nên: ab(a – b) – ac(a + c) + bc(2a + c – b)
=ab(a – b) – ac(a + c) + bc(a + c) + bc( a – b)

0.25đ

= (a – b) (ab + bc) – (a + c) (ac – bc)
0.25đ

= b( a- b)(a + c) – c(a + c)(a – b) = (a – b)(b – c)(a + c)
0.25đ

Ta có :


0.25đ



0.25đ




0.25đ

Suy ra A = 1/3 hoặc A = -1/3
0.25đ

Vì y > x > 0 nên: x + y > 0 và x – y < 0. Do đó: A < 0
0.25đ

Vậy A = -1/3

0.25đ

Bài 2: (3 điểm)


Điều kiện: x ≠ ± b. Phương trình đã cho tương đương với:


x – a2x + a =

0.25đ








(*)
0.25đ

Biện luận:
Nếu : a ≠ ± 1 thì

+ Với :
≠ ± b thì PT có nghiệm duy nhất





0.25đ

+ Với :
= ± b thì PT vô nghiệm
0.25đ

Nếu a = -1 (*) thành: 0x = 2. PT vô nghiệm
0.25đ

Nếu a = 1 (*) thành: 0x = 0. PT có vô số nghiệm x ≠ ± b
0.25đ

Theo đề bài ta có:
(x + y) yzt = xyzt + a , suy ra : a = y2zt (1)

0.25đ

x (y + z) zt = xyzt + b, suy ra : b = xz2t (2)
0.25đ

xy (z + t) t = xyzt + c , suy ra : c = xyt2 (3)
0.25đ

xyz (t+ x) = xyzt + d, suy ra : d = x2yz (4)
0.25đ

Nhân (1),(2),(3),(4) ta được điều phải chứng minh
0.50đ



Bài 3: (1.5 điểm) x3 – 3 = x3 – 27 + 24 = (x – 3)(x2 + 3x + 9) + 24
0.25đ

Theo yêu cầu đề bài (ycđb) : x3 – 3 chia hết cho x -3
Suy ra : 24 chia hết cho x – 3 hay x – 3 là ước của 24

0.25đ

Vậy x – 3 có thể nhận các giá trị : 1