ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN
LỚP 8
Thời gian: 90 phút

Bài 1: (2 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
(x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3.
x4 + 2012x2 + 2011x + 2012.
Bài 2: (2,5 điểm) Cho biểu thức:

a. Rút gọn biểu thức A.
b. Tính giá trị của A , Biết (x( =
.
c. Tìm giá trị của x để A < 0.
d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Bài 3 : (2 điểm)
a) Giải phương trình :

b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :
A =

Bài 4: (3,5 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.
a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?
b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK
c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.

ĐÁP ÁN
Bài 1: (2 điểm)
a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 =

=

=
= 3

= 3
. (1 điểm)
b)x4 + 2012x2 + 2011x + 2012 = (x4 - x) + (2012x2+2012x+2012)
= x(x3- 1) + 2012 (x2+x+1) = x(x -1) (x2+x+1) )+ 2012 (x2+x+1)
= (x2+x+1) [x(x -1) + 2012] = (x2+x+1) (x2 –x + 2012) (1 điểm)
Bài 2: (2,5 điểm) Biểu thức:

a) Rút gọn được kết qủa:
(0,75 điểm)
b)

hoặc
(0,25 điểm)

A=
hoặc A=
(0,75 điểm)
c) A < 0
x - 2 >0
x >2 (0,25 điểm)
d) A
Z


x-2
Ư(-1)
x-2
{ -1; 1}
x
{1; 3} (0,5 điểm)
Bài 3: (2 điểm)
a) (1đ) x2+9x+20 = ( x+4)( x+5) ;
x2+11x+30 = ( x+6)( x+5) ;
x2+13x+42 = ( x+6)( x+7) ; (0,25 điểm)
ĐKXĐ :
(0,25 điểm) Phương trình trở thành :




(0,25 điểm)
18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
(x+13)(x-2)=0
Từ đó tìm được x=-13; x=2; (0,25 điểm)
b) (1đ) Đặt b+c-a = x >0; c+a-b = y >0; a+b-c = z >0 (0,25 điểm)
Từ đó suy ra a=
; (0,25 điểm) Thay vào ta được A=
(0,25 điểm)
Từ đó suy ra A
hay A
(0,25 điểm)

Bài 4: (3,5 điểm)
a)Ta có : BE
AC (gt); DF
AC (gt)
BE // DF (0,25 điểm)
Chứng minh :

BE = DF (0,5 điểm)
Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành (0,25 điểm)
b) Chứng minh:
ABC=
ADC

HBC=
KDC (0,25 điểm)


CHB CKD(g-g) (0,5 điểm)

(0,5 điểm)
c)Chứng minh :
AFD AKC(g-g) (0,25 điểm)


(0,25 điểm)
Chứng minh :
CFD AHC(g-g)

(0,25