Bất đẳng thức côsi

Bài tập 1: Chứng minh các bất đẳng thức:
a) 2
b) 4
c) 3
Giải:
a) áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số với a,b 0 ta có:
a2 + b2 2ab
a2 + b2 + 2ab 2ab + 2ab
( a + b)2 4ab
2 ab
Dấu “=” xảy ra a = b
b) Đặt a + b = m, c + d = n, thao câu a ta có:
2 mn
Do m, n > 0 nên 4 m2n2 (1)
Mặt khác theo câu a ta có: m2 = ( a + b)2 4ab (2)
n2 = ( c + d )2 4cd (3)
Do a,b,c,d 0 nên nhân (2) với (3) ta được m2n2 16 abcd (4)
Từ (1) và (4) 4 16abcd
Vậy 4 abcd
Dấu “=” xảy ra m = n, a = b, c =d tức a = b = c = d
c) Theo câu b ta có: 4 abcd. Đặt d = khi đó:
4 abc
4 abc
4 abc
( 3 abc
Bài tập 2: Cho a3, chứng minh:
19a +
Giải:
Biến đổi vế trái ta có: 19a +
áp dụng bất đẳng thức côsi: a:=
b:=
(1)
Mặt khác: theo giả thiết a 3
Cộng (1) với (2) ta được:

Bài tập 3: Cho a,b > 0; a2+ b2 = 1. Chứng minh rằng:
( 1 + a ) ( 1 + + ( 1+ b) ( 1+
Giải:
Vì a2+ b2 2ab nên ab
Biến đổi vế trái ta có:
( 1 + a ) ( 1 + + ( 1+ b) ( 1+ = 2 + a + b +
áp dụng bất đẳng thức cô si cho từng cặp số: (a,b) ; ( ; ta có:
Vế trái 4 + 2(
Mặt khác:

Vậy vế trái 4 + 2= 4 + 3
Dấu “=” xảy ra a = b và ab =
a = b =

Bài tập về bất đẳng thức Bunhiacôpski
Bài tập 1: Giả sử x3 và x + y 4.
Chứng minh: 4x2 + y2 37
Giải:
Ta có: 4x2 + y2 37 ( 2x)2 + y2 37
Theo giả thiết: x 3 11x 33 ( 1) và x + y 4 (2)
Cộng (1) và (2) ta có: 12x + y 37
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có:
372 ( 12x + y)2 ( 62 + 12)( 4x2 + y2)
372 37.( 4x2 + y2)
37 ( 4x2 + y2)
Bài tập 2: Cho x 7 và x + y = 9.
Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 5x2 + 4y2

Giải:
Ta có: A = 5x2 + 4y2 A = x)2 + (2y)2
Theo giả thiết: x 7 27x (1)
x + y 9 (2)
Cộng (1) và (2) ta có: 35x + 8y
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có:
2612 2
2612 261.( 5x2 + 4y2)
261 (5x2 + 4y2)
Vậy GTNN của A = 261 và x + y =9
Giải hệ phươ