PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ ĐÀ LẠT

ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 1 trang)
KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2011-2012
Ngày thi : 01 tháng 12 năm 2011

Môn thi : TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)



Câu 1: (1,5đ) ) Rút gọn biểu thức A =
.

Câu 2 : (1,5đ) Chứng minh : a3 - 6a2 – 7a + 12 chia hết cho 6 . ( a
Z )

Câu 3 : (1,5đ) Cho
có
,vẽ đường trung tuyến AM . Trên AC lấy điểm D sao cho BD = 2AM, BD cắt AM tại K . Chứng minh rằng: KA = KD .

Câu 4 : (1,5đ) Cho
ABC vuông tại A , đường cao AH , N là hình chiếu của H trên AC.
Biết AB = c, AC = b. Tính HN theo b và c.

Câu 5 : (1,5đ ) Tìm số nguyên tố P sao cho P +2 và P +4 cũng là số nguyên tố.

Câu 6 :(1,5đ)Cho a và b là hai số thực dương thõa mãn:

Hãy tính tổng: S =


Câu 7 : (2đ) Một tam giác có số đo diện tích ( đơn vị cm2) bằng số đo chu vi ( đơn vị cm). Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đó .

Câu 8 : (1,5đ) Chứng minh rằng nếu a2+b2+c2 = ab + ac + bc thì a = b = c

Câu 9 : (2đ) Chứng minh rằng : (3a+5b, 8a+13b) = (a, b) với a, b là các số nguyên.

Câu 10: (2đ ) Cho ba số a,b,c thỏa : a + b + c = 2012 và
. Chứng minh rằng một trong ba số đó phải có một số bằng 2012.

Câu 11 : (2đ) Cho
ABC. M là một điểm thuộc cạnh BC
. Chứng minh rằng:
MA.BC < MC.AB + MB.AC

Câu 12 : (1,5đ) Chứng minh rằng phân số
không tối giản. (
).

----------- HẾT ----------


HỌ VÀ TÊN THÍ SINH :.......................................................................Số báo danh................

Chữ ký giám thị 1 :....................................... Chữ ký giám thị 2 ...............................................


PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ ĐÀ LẠT

KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2011-2012
Ngày thi : 01 tháng 12 năm 2011
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn : TOÁN


Câu 1: (1,5đ) ) Rút gọn biểu thức A =
.
A
0,5đ
A
0,5đ
A =
0,5đ

Câu 2 : (1,5đ) Chứng minh : a3 - 6a2 – 7a + 12 chia hết cho 6 . ( a
Z )
A = a3 - 6a2 – 7a + 12
A = a3 – a - 6a2 – 6a + 12 0,5đ

A = a(a – 1)(a+1) – 6a2 – 6a + 12
Do a(a – 1)(a+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên a(a – 1)(a+1)
6 0,5đ
Mặt khác - 6a2 – 6a + 12
6 nên A
6 0,5đ

Câu 3 : (1,5đ) Cho
có
,vẽ đường trung tuyến AM . Trên AC lấy điểm D sao cho BD = 2AM, BD cắt AM tại K . Chứng minh rằng: KA = KD .

Gọi I là trung điểm của DC,suy ra IM là đường trung
bình tam giác BDC
IM//BD và IM =
BD 0,5đ
* c/m
cân tại M

(1)
*IM//BD

(2) 0,5đ
Từ (1) (2)




cân tại K
KA = KD 0,5đ


Câu 4 : (1,5đ) Cho
ABC vuông tại A , đường cao AH , N là hình chiếu của H trên AC.
Biết AB = c, AC = b. Tính HN theo b và c.

*HN//AB
(1) 0,5đ
*
(2)
Từ (1) ,(2)
0,5đ
BC2= AB2 + AC2 = c2+ b2

0,5đ


Câu 5 : (1,5đ ) Tìm số nguyên tố P sao cho P +2